| 3aмeчaниe. Доказанная теорема выражает следующий геометри¬ческий факт. Если на отрезке [a, b] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке на этом отрезке об¬разует c осью Ох оcтpый угол φ или - в отдельных точках - горизонтальна; тангенс этого угла не отрицате-лен: f’(x)=tgφ≥0 (рис. а). Если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то угол наклона касательной - тупой (или - в отдельных точках - ка¬сательная го-ризонтальна); тангенс этого угла не положителен (рис. 6). Аналогично иллю-стрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку ее производной. Если же →0, оставаясь положительным, то .
Так как f'(x1) есть определенное число, не зависящее от способа стремления к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если .
Аналогичным образом теорема доказывается и для случая мини¬мума функции.
Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция f(x) имеет производ-ную, то касательная к кривой y=f(x) в этих точках параллельна оси Ох. Действительно, из того, что f’(x1)=tgφ=0, где φ - угол между касатель-ной и осью Ох, следует, что φ = 0 (рис.).
Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рас-сматриваемых значениях аргумента x функция f(x) имеет произ¬водную, то она может иметь экстремум (мак¬симум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.
Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором про-изводная обращается в нуль, обязательно существует максимум или
минимум. Так, на рис. изображена функция, у которой при x=x3 произ-водная обращается в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Точно так же функция y = x3 (рис.) при x =0 имеет производную, рав¬ную нулю: (y’)x=0=(3x2)x=0=0, но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, как бы ни была близка точка x к точке O, все-гда x3 < 0 при x < 0 и x3 > 0 при x > 0.
Мы исследовали тот случай, когда функция во всех точках некоторого от-резка имеет производную. Как же обстоит дело в тех точках, где производ-ная не существует? Мы покажем на примерах, что в та¬ких точках может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.
Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где произ-водная не существует. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпят pазpыв.
Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками или крити¬ческими значениями.
Из предыдущего следует, что не при всяком критическом значе¬нии функция име-ет максимум или минимум. Однако, если в какой-либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критической. Поэто-му для разыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, вы-ясняют, будет ля в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума.
|
