Аналогичным образом теорема доказывается и для случая мини¬мума функции.
Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция f(x) имеет производ-ную, то касательная к кривой y=f(x) в этих точках параллельна оси Ох. Действительно, из того, что f’(x1)=tgφ=0, где φ - угол между касатель-ной и осью Ох, следует, что φ = 0 (рис.).
Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рас-сматриваемых значениях аргумента x функция f(x) имеет произ¬водную, то она может иметь экстремум (мак¬симум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.
Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором про-изводная обращается в нуль, обязательно существует максимум или
минимум. Так, на рис. изображена функция, у которой при x=x3 произ-водная обращается в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Точно так же функция y = x3 (рис.) при x =0 имеет производную, рав¬ную нулю: (y’)x=0=(3x2)x=0=0, но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, как бы ни была близка точка x к точке O, все-гда x3 < 0 при x < 0 и x3 > 0 при x > 0.